Знаком ли с экспоненциальным распределением?

Что проверяют

Знаете ли вы, какой процесс описывает это распределение, и сможете ли применить его к реальным данным, а не только записать формулу. Следом спрашивают про отсутствие памяти и связь с Пуассоном, иногда дают задачу: «Заявки приходят в среднем 6 в час, какова вероятность ждать следующую дольше 20 минут?»

Как отвечать

Экспоненциальное распределение описывает время между событиями, которые происходят независимо и с постоянной средней интенсивностью λ. Основное:

• плотность: f(x) = λ·e^(-λx) при x ≥ 0;
• функция распределения: F(x) = 1 - e^(-λx), отсюда вероятность ждать дольше t равна e^(-λt);
• среднее и разброс: среднее 1/λ, стандартное отклонение тоже 1/λ, медиана ln 2 / λ, то есть примерно 0,69 от среднего;
• отсутствие памяти: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Сколько бы вы уже ни ждали, оставшееся ожидание распределено так же. Среди непрерывных распределений этим свойством обладает только экспоненциальное;
• связь с Пуассоном: если число событий за интервал распределено по Пуассону, промежутки между ними экспоненциальны с тем же λ.

Для задачи выше: λ равна 6 в час, 20 минут это треть часа, вероятность e^(-2), около 13,5%.

Применяется для интервалов между обращениями в поддержку, запросами к серверу, заказами, а отсюда модели очередей для расчёта числа операторов. Параметр оценивается просто: λ равна единице, делённой на выборочное среднее. Проверить, подходят ли данные, можно Q-Q графиком или сравнив среднее со стандартным отклонением: у экспоненциального они совпадают.

Где спотыкаются

Путают интенсивность и среднее. В scipy.stats.expon и в генераторе numpy параметр scale равен 1/λ, и если передать туда интенсивность, результат будет совсем другим.

Применяют экспоненту к отказам оборудования с износом или к оттоку клиентов. Там вероятность события меняется со временем, лучше подходит, например, распределение Вейбулла.

Забывают про сезонность. Если днём заявок втрое больше, чем ночью, λ не постоянна, и модель с одним параметром на сутки даёт неверный прогноз.