Можно ли применять центральную предельную теорему при ненормальном распределении генеральной совокупности
Что проверяют
Знаете ли вы, о чём вообще теорема: она про распределение выборочного среднего, а не про распределение данных. И различаете ли настоящие её условия и правила, которые пришли из учебных упрощений.
Как отвечать
Да, и ровно в этом её смысл. Формулировка: если наблюдения независимы, одинаково распределены и дисперсия конечна, то распределение выборочного среднего с ростом n стремится к нормальному, какой бы ни была исходная форма. Сами данные нормальными не становятся: гистограмма выборки как была скошенной, такой и останется.
Практический вывод: доверительные интервалы и t-тест на средних работают и на конверсии, и на длительности сессии, и на среднем чеке, если выборка достаточна.
Условия, которые стоит проговорить:
- конечная дисперсия. Для распределений с тяжёлыми хвостами, где второй момент расходится, теорема не работает вовсе, и увеличение выборки не помогает;
- независимость. Повторные события одного пользователя, сезонность, кластеры по устройствам нарушают её сильнее, чем асимметрия;
- достаточное n. Оно зависит от скошенности: почти симметричным данным хватает десятков наблюдений, выручке с редкими крупными платежами не хватает и тысяч.
Если сходимость медленная, есть выход: медиана или усечённое среднее, бутстрэп, непараметрические критерии, анализ логарифма величины с оговоркой, что это уже другая метрика.
Где спотыкаются
Повторяют правило про тридцать наблюдений как условие теоремы. Это грубый ориентир, и на тяжёлых хвостах он вреден: тест выглядит валидным, а фактический уровень ошибки первого рода выше заявленного.
Второе: проверяют на нормальность сами данные и отказываются от t-теста, увидев скос. Смысла в этом мало, проверять стоит устойчивость выводов, например тем же бутстрэпом.
Третье: переносят теорему туда, где она не действует. Она ничего не говорит про распределение одного наблюдения, про медиану и максимум, про суммы зависимых величин, и прогнозный интервал для отдельного значения строится совсем не так, как интервал для среднего.