Как вычислить вероятность выпадения решки при условии наличия фальшивой монеты с двумя решками

Что проверяют

Умение формализовать задачу: ввести события, записать формулу полной вероятности и не перепутать её с формулой Байеса. Почти всегда следом спрашивают обратное: выпала решка, какова вероятность, что в руках фальшивая монета.

Как отвечать

Сначала проговорите условие, оно встречается в разных вариантах. Базовый: две монеты, честная и с двумя решками, одну берут наугад и подбрасывают.

• полная вероятность: P(Р) = P(Р|честная)·P(честная) + P(Р|фальш)·P(фальш) = 1/2 · 1/2 + 1 · 1/2 = 3/4;
• Байес для обратного вопроса: P(фальш|Р) = P(Р|фальш)·P(фальш) / P(Р) = (1/2) / (3/4) = 2/3. Интуиция: у двух монет четыре равновероятные стороны, три из них решки, и две из этих трёх принадлежат фальшивой;
• серия бросков: если одну и ту же монету бросили k раз и каждый раз выпала решка, вероятность фальшивой при равных априорных шансах равна 1 / (1 + 2^(-k));
• усложнённый вариант: одна фальшивая среди 1000 монет, выпало 10 решек подряд. Тогда P(фальш|10Р) = (1/1000) / (1/1000 + 999/1000 · 1/1024) ≈ 0,51, а вероятность решки на следующем броске около 0,75.

Для data/ML-позиции хорошо связать задачу с работой: это то же обновление априорной вероятности по данным, что лежит в наивном байесовском классификаторе и в том, почему precision проседает на редком классе. Добавьте, что ответ проверяется симуляцией на numpy в несколько строк.

Где спотыкаются

Отвечают 1/2, игнорируя фальшивую монету, или 3/4 на вопрос о вероятности фальшивой. Это разные величины: одна считается по полной вероятности, другая по Байесу.

Забывают про априорную вероятность в варианте с тысячей монет. Десять решек подряд впечатляют, но фальшивая монета изначально настолько редка, что шансы получаются примерно равными.

Считают броски одной и той же выбранной монеты независимыми. Они независимы только при известной монете, а пока монета неизвестна, каждая решка сдвигает оценку в пользу фальшивой.