Чему равна максимальная вероятность вытащить белый шар из случайно выбранной корзины?

Что проверяют

Умение работать с формулой полной вероятности и догадаться, что раскладка шаров это ваша переменная, а не данность. Задачу дают на секции по теории вероятностей, и ценится не число в ответе, а ход: как вы формализуете условие, как проверяете крайние случаи, как доказываете, что лучше уже не будет.

Как отвечать

Первым делом уточните условие: сколько корзин, сколько шаров каждого цвета, раскладываете их вы сами или они уже разложены, обязана ли корзина быть непустой. От этого зависит всё.

Классическая постановка: 50 белых и 50 чёрных шаров, две корзины, разложить надо все шары, потом наугад выбирается корзина и из неё наугад шар. Тогда вероятность считается по формуле полной вероятности:

P = 1/2 * w1/n1 + 1/2 * w2/n2

Идея решения: одну корзину сделать гарантированно выигрышной, а вторую испортить по минимуму. Кладём в первую корзину один белый шар, всё остальное во вторую:

P = 1/2 * 1 + 1/2 * 49/99 = 0,7474...

То есть около 74,7 процента против 50 при равномерной раскладке. Объясните, почему больше не выйдет: первое слагаемое уже максимально, во втором перенос туда ещё одного белого шара только уменьшает долю белых в большой корзине, а перенос чёрного портит первую корзину целиком.

Где спотыкаются

Отвечают «максимум по корзинам», то есть выбирают лучшую корзину и называют долю белых в ней. Это решение другой задачи: корзина выбирается случайно, и вклад в ответ дают обе.

Второе: начинают перебирать раскладки наугад и не записывают целевую функцию. Без полной вероятности перебор бесконечен, а с ней ответ виден почти сразу.

Третье: находят ответ, но не проверяют границы. Стоит вслух проговорить случай пустой корзины, который условие обычно запрещает, и случай одной корзины, где ответ вырождается в половину.