Всегда ли существует математическое ожидание

Что проверяют

Знаете ли вы точное условие существования матожидания и можете ли привести контрпример, а не просто сказать «бывает, что нет». У Go-разработчика вопрос обычно уходит в практику: что это значит для метрик задержек и почему среднее по логам иногда ничего не говорит.

Как отвечать

• условие: матожидание существует и конечно, когда сходится ряд или интеграл от модуля величины, то есть E|X| < ∞. Для дискретной величины нужна абсолютная сходимость ряда Σ x·p(x), для непрерывной интеграла ∫ |x|·f(x) dx. Модуль важен: при условной сходимости сумма зависит от порядка слагаемых, и значение не определено;
• бесконечное против несуществующего: у неотрицательной величины матожидание может быть равно +∞. Пример: петербургский парадокс или распределение с P(X = k), пропорциональной 1/k². У Коши бесконечны и положительная, и отрицательная части, поэтому матожидания нет вовсе;
• распределение Коши: главный контрпример. Среднее из n независимых величин Коши распределено так же, как одна величина, закон больших чисел не работает, и выборочное среднее ни к чему не сходится;
• Парето: при параметре α ≤ 1 среднее бесконечно, при α ≤ 2 бесконечна дисперсия, хотя среднее уже есть.

Легко показать на Go: math.Tan(math.Pi*(rand.Float64()-0.5)) даёт выборку Коши, и накопленное среднее будет скакать при любом размере выборки. Практический вывод: для величин с тяжёлым хвостом, вроде времени ответа сервиса, смотрят медиану и перцентили (p95, p99 по гистограммам Prometheus), а не среднее.

Где спотыкаются

Говорят, что матожидания нет у распределений с неограниченными значениями. Нормальное распределение не ограничено, а среднее у него есть.

Проверяют сходимость ряда без модуля и получают «ответ» там, где матожидание не определено.

Путают существование матожидания и дисперсии: у распределения Стьюдента с двумя степенями свободы среднее есть, а дисперсия бесконечна.